Kurt Gödel

La sua grande idea

Far parlare l'aritmetica di sé stessa

La sua storia

Kurt Gödel era un ragazzo di ventiquattro anni, magrissimo, che studiava a Vienna. In quegli anni i matematici avevano un sogno: dimostrare, con gli strumenti dell'aritmetica stessa, che l'aritmetica non contiene contraddizioni, cioè che non arriva mai a dire una cosa e anche il suo contrario. Gödel trovò la crepa in quel sogno. Diede un numero a ogni simbolo e a ogni formula: così l'aritmetica, che parla di numeri, poteva parlare anche di sé stessa. Poi costruì una formula che dice: «questa formula non è dimostrabile». Dimostrabile vuol dire che si può ricavare seguendo le regole, passo dopo passo. Se le regole non si contraddicono, quella formula non si può dimostrare, e proprio per questo è vera. Attenzione, però: non vuol dire che esistano verità che nessuno potrà mai conoscere. Ragionando da fuori, la riconosciamo vera. Sono le regole, da dentro, a non arrivarci.

Una domanda per te

Si può essere sicuri che le regole di un gioco non si contraddicano mai, usando soltanto quelle stesse regole?

La frase

«In ogni sistema di regole coerente che contenga l'aritmetica ci sono proposizioni vere che quel sistema non riesce a dimostrare.»

In parole semplici: Se le regole sui numeri non si contraddicono, c'è almeno una cosa vera che non riescono a dimostrare.

Gödel parlava di numeri e di regole precise, non della vita in generale: il suo teorema vale solo lì. Dentro quelle regole c'è una frase vera che le regole non riescono a ricavare. Ma non è un segreto: tu, ragionando da fuori, come farai con il giudice delle carte, puoi accorgerti che è vera.

Esperimento mentale: La carta che il giudice non può timbrare

Ti serve: alcuni cartoncini, una penna, un pennarello colorato per il timbro, un compagno che fa il giudice

1. Nomina il giudice: un compagno può disegnare una stella, il timbro, solo sulle carte che dicono una cosa vera. È un giudice onesto: non timbra mai una frase falsa.
2. Scalda il giudice: scrivete qualche carta facile, come «In classe c'è una lavagna» o «Oggi è domenica», e lasciate che timbri soltanto quelle vere.
3. Scrivi la carta speciale: su un cartoncino scrivi «Il giudice non timbrerà mai questa carta.» e consegnala.
4. Prova le due strade: se il giudice la timbra, la frase diventa vera o falsa? E se non la timbra? Discutetene con calma.
5. Guarda da fuori: la classe ha capito se la frase è vera? Il giudice, restando onesto, può timbrarla?
6. Cambia giudice: nominate un secondo giudice e provate a scrivere una nuova carta speciale per lui. Funziona di nuovo?

Che cosa hai scoperto? Hai scoperto che un giudice onesto non può timbrare quella carta: se la timbrasse, avrebbe timbrato una frase falsa. Ma proprio perché non la timbra, la frase è vera. Gödel ha costruito qualcosa di simile con i numeri: una formula vera che le regole dell'aritmetica non riescono a dimostrare. Tu però, da fuori, hai capito che era vera. E con un nuovo giudice il gioco si può rifare da capo.

Lo sapevi?

Quando Gödel annunciò la sua scoperta, un altro grande matematico, John von Neumann, ci lavorò per settimane e arrivò da solo a una seconda conclusione: l'aritmetica non può dimostrare, con le sue sole regole, di non contraddirsi. Scrisse a Gödel per raccontarglielo, e Gödel gli rispose che ci era già arrivato.

Perché conta ancora oggi

Ogni volta che un computer salva un testo, trasforma ogni lettera in un numero. Nel 1931 Kurt Gödel, un giovane logico (cioè uno che studia come funzionano i ragionamenti) che parlava a voce bassa, fece qualcosa di simile con le formule della matematica: diede a ciascuna un numero. Così la matematica poté parlare di sé stessa, e lui trovò una crepa: in ogni sistema di regole che contiene l'aritmetica e non si contraddice ci sono frasi vere che con quelle regole non si possono dimostrare. Non vuol dire che la matematica sia sbagliata o che ci siano cose che nessuno potrà mai sapere: dall'esterno, con regole più forti, quelle frasi si riconoscono vere. E c'è di più: nessun sistema può garantire da solo, con i suoi mezzi, di non contraddirsi. È una sconfitta o una scoperta? Pensaci con la tua testa.

I valori della sua carta

Curiosità: 80

Volle sapere se il grande sogno dei matematici del suo tempo si poteva davvero realizzare.

Logica: 97

A soli ventiquattro anni dimostrò una cosa sull'aritmetica a cui nessuno era arrivato, con un ragionamento perfetto.

Fantasia: 88

Ebbe un'idea mai vista: dare un numero a ogni formula, così che l'aritmetica potesse parlare di sé stessa.

Coraggio: 74

Da giovane studente trovò una crepa nel sogno dei più grandi matematici del suo tempo.

Dialogo: 30

Lo chiamavano «il ragazzo che parlava piano»: le sue idee erano difficilissime da spiegare agli altri.

Per i più grandi e per gli adulti

Kurt Gödel è raccontato nel volume 6 di La Crepa, La scienza e il linguaggio, capitolo 6: «Il programma e il teorema».

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