Gottlob Frege

La sua grande idea

Scrivere i ragionamenti senza doppi sensi

La sua storia

Gottlob Frege insegnò matematica a Jena, in Germania, per quarantaquattro anni. Ebbe pochissimi allievi e quasi nessuno leggeva i suoi libri. Eppure oggi ogni manuale di logica usa ciò che ha inventato. La sua crepa sta in una frase come questa: «Ogni ragazzo ama una ragazza». Vuol dire che ognuno ama una ragazza diversa, o che tutti amano la stessa? La logica di Aristotele, cioè il suo studio dei ragionamenti corretti, fu insegnata per più di duemila anni, ma non sapeva distinguere i due casi. Frege inventò dei segni per dire «per ogni» ed «esiste almeno uno»: se li metti in un ordine o nell'altro, il significato cambia. Ma la sua grande domanda era un'altra: su che cosa poggiano i numeri? Per lui poggiano sulla logica, non sulla nostra testa: due più due fa quattro anche se nessuno conta.

Una domanda per te

Se tutte le persone del mondo smettessero di contare, due più due farebbe ancora quattro?

La frase

«La sua scoperta mi ha profondamente sorpreso, e direi quasi costernato, perché ha scosso il fondamento su cui pensavo di costruire l'aritmetica.»

In parole semplici: Quello che hai scoperto mi ha sconvolto: le fondamenta su cui volevo costruire i numeri si sono incrinate.

Frege scrisse queste parole nel 1902 a Bertrand Russell, il giovane inglese che gli aveva mostrato una contraddizione nel suo lavoro: «costernato» vuol dire abbattuto, sconvolto. Eppure Frege non nascose la crepa: aggiunse al libro una pagina in cui la spiegava e ammetteva di non saperla riparare. Anche a te può capitare che qualcuno trovi un errore in quello che hai costruito, e allora puoi scegliere: arrabbiarti o guardarlo meglio.

Esperimento mentale: Una frase, due significati

Ti serve: un foglio e una matita, un compagno o la classe intera, la tua testa

1. Leggi la frase: «In questa classe, ogni bambino tifa per una squadra». Chiedi a due compagni di spiegare che cosa vuol dire.
2. Disegna la prima lettura: scrivi i nomi di alcuni compagni a sinistra e qualche squadra a destra, e collega ogni bambino con una freccia a una squadra, anche a squadre diverse.
3. Disegna la seconda lettura: ora tutte le frecce vanno a una sola squadra, la stessa per tutti. Confronta i due disegni.
4. Riscrivi senza dubbi: «Per ogni bambino esiste una squadra per cui tifa» e «Esiste una squadra per cui tifano tutti i bambini». Che cosa è cambiato? Solo l'ordine.
5. Vai a caccia: cerca altre frasi che si possono leggere in due modi, come «Tutti in classe hanno letto un libro», e riscrivile con «per ogni» ed «esiste».

Che cosa hai scoperto? Hai scoperto che una frase che sembra chiarissima può nascondere due significati. Parlando tutti i giorni non ce ne accorgiamo, perché capiamo dal contesto. Ma in un ragionamento, come in matematica, un equivoco può portare fuori strada. Frege se ne accorse e trovò un modo di scrivere in cui «per ogni» ed «esiste» si vedono bene, e l'ordine in cui li metti cambia il significato. Così le due letture diventano due frasi diverse.

Lo sapevi?

Nel 1902 il suo libro più importante era già in stampa. Proprio allora un giovane inglese gli scrisse: aveva trovato una contraddizione, cioè due affermazioni che non possono essere vere insieme, proprio nelle fondamenta del libro. Frege gli rispose sei giorni dopo, senza una parola di rancore: lo ringraziò e riconobbe pubblicamente la sua scoperta.

Perché conta ancora oggi

Ogni volta che una frase si può capire in due modi, come «ogni bambino della classe ha un amico», hai davanti la crepa che trovò Gottlob Frege. Un amico diverso per ciascuno, oppure lo stesso amico per tutti? Per più di duemila anni la logica, cioè lo studio dei ragionamenti corretti, non sapeva tenere separate le due letture. Frege era un professore di matematica che quasi nessuno leggeva. Inventò un modo di scrivere i ragionamenti in cui «per ogni» ed «esiste» diventano segni, e l'ordine in cui li metti cambia il significato. Oggi è la base della logica che si studia nelle università. Lui però morì convinto che il suo grande progetto sui numeri fosse fallito.

I valori della sua carta

Curiosità: 78

Volle sapere su che cosa poggiano i numeri, una domanda che sembra strana ma è profonda.

Logica: 97

Inventò la logica che si insegna ancora oggi e che sa distinguere frasi che la logica di Aristotele confondeva.

Fantasia: 72

Inventò segni nuovi per dire «per ogni» ed «esiste almeno un».

Coraggio: 74

Continuò a lavorare per quarantaquattro anni anche se quasi nessuno leggeva i suoi libri.

Dialogo: 22

Ebbe pochissimi allievi e i suoi libri non li leggeva quasi nessuno.

Per i più grandi e per gli adulti

Gottlob Frege è raccontato nel volume 6 di La Crepa, La scienza e il linguaggio, capitolo 4: «Il notaio del pensiero».

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