Georg Cantor

La sua grande idea

Confrontare gli infiniti facendo coppie uno a uno

La sua storia

Georg Cantor era un matematico tedesco dell'Ottocento. Per secoli si era pensato all'infinito come a qualcosa che non finisce mai di crescere, non come a una cosa intera da studiare tutta insieme. Cantor provò invece a guardarlo da vicino, con una domanda nuova: due infiniti possono avere grandezze diverse? Per confrontarli usò un metodo semplice: fare coppie, ogni cosa di un gruppo con una cosa dell'altro, come un pastore che mette un sasso nella sacca per ogni pecora. Già Galileo si era accorto che i numeri pari sono tanti quanti tutti i numeri, ma Cantor prese sul serio questa idea. Poi, con un ragionamento di dieci righe, dimostrò che i numeri con la virgola sono di più: nessun elenco può contenerli tutti. Esistono infiniti più grandi di altri. Molti gli si opposero, ma da quella crepa è passata molta luce.

Una domanda per te

Se i numeri pari sono tanti quanti tutti i numeri, che cosa vuol dire, allora, essere «più grande»?

La frase

«lo vedo, ma non lo credo»

In parole semplici: Il ragionamento mi dice che è vero, ma la mia testa fa ancora fatica ad accettarlo.

Cantor aveva appena dimostrato che una linea e un quadrato hanno lo stesso numero di punti. Il ragionamento era giusto, ma il risultato sembrava assurdo anche a lui. Può succedere anche a te: segui un problema passo per passo, arrivi a un risultato strano e ti viene voglia di non crederci. Quel dubbio non cancella la dimostrazione: ti dice che stai guardando una cosa in un modo nuovo.

Esperimento mentale: La diagonale che sfugge all'elenco

Ti serve: qualche matita e qualche gomma, un foglio a quadretti e una penna, quattro o cinque compagni

1. Fai coppie senza contare: mettete sul banco un mucchietto di matite e uno di gomme. Senza contarle, mettete ogni gomma accanto a una matita. Il mucchio in cui avanza qualcosa è il più grande.
2. Scrivi due righe: in alto 1, 2, 3, 4, 5…; sotto ogni numero il suo doppio: 2, 4, 6, 8, 10… Se le righe continuassero per sempre, resterebbe qualcuno senza compagno?
3. Fate l'elenco: cinque compagni scrivono, uno sotto l'altro, un numero con cinque cifre dopo la virgola, per esempio 0,38152.
4. Percorri la diagonale: costruisci un numero nuovo. La prima cifra dopo la virgola deve essere diversa dalla prima cifra del primo numero, la seconda dalla seconda cifra del secondo, e così fino alla quinta.
5. Cercalo nell'elenco: controllate riga per riga se il numero nuovo c'è. Poi immaginate un elenco che non finisce mai: il metodo funzionerebbe ancora?

Che cosa hai scoperto? Hai scoperto che per confrontare due gruppi non serve contare: basta fare coppie. Con l'infinito però succede una cosa strana: i numeri pari fanno coppia con tutti i numeri, anche se ne sono solo una parte. Poi hai costruito un numero diverso da ogni riga dell'elenco in almeno una cifra. È la diagonale di Cantor: con i numeri con la virgola, qualunque elenco lascia fuori qualcuno. Cantor non lo ha osservato: lo ha dimostrato.

Lo sapevi?

Nel 1877 Cantor dimostrò che una linea dritta e un quadrato contengono lo stesso numero di punti. La scoperta lo stupì così tanto che gli sembrava di aver distrutto l'idea stessa di dimensione: la differenza fra una linea, che ha solo la lunghezza, e un quadrato, che ha anche la larghezza.

Perché conta ancora oggi

Ogni volta che in classe controllate se le sedie bastano mettendo un bambino davanti a ogni sedia, uno a uno, state usando l'idea con cui Georg Cantor ha guardato dentro l'infinito. Facendo coppie in questo modo, prese sul serio una cosa già notata da Galileo, cioè che i numeri pari sono tanti quanti tutti i numeri, e scoprì che i numeri con la virgola sono di più: esistono infiniti più grandi di altri infiniti. Molti matematici del suo tempo, a cominciare da un suo vecchio professore, dissero che erano idee senza senso. Oggi la sua teoria degli insiemi, cioè dei gruppi di cose, è il linguaggio di base della matematica. E il suo ragionamento «della diagonale», quello che mostra che nessun elenco contiene tutti i numeri con la virgola, serve anche a capire che cosa un computer non potrà mai calcolare. Davanti a una delle sue scoperte, lui stesso scrisse: «lo vedo, ma non lo credo». E tu, ti è mai capitato di dover credere a un ragionamento prima ancora di riuscire a immaginarlo?

I valori della sua carta

Curiosità: 86

Invece di pensare all'infinito come a qualcosa che cresce e basta, provò a guardarlo da vicino.

Logica: 95

Con un ragionamento di dieci righe dimostrò che nessun elenco può contenere tutti i numeri con la virgola.

Fantasia: 90

Pensò una cosa che nessuno immaginava: che esistano infiniti più grandi di altri.

Coraggio: 80

Molti gli si opposero, ma lui non abbandonò la sua scoperta.

Dialogo: 58

Il suo metodo delle coppie si spiega anche con un pastore e i suoi sassi, ma molti non gli diedero ascolto.

Per i più grandi e per gli adulti

Georg Cantor è raccontato nel volume 6 di La Crepa, La scienza e il linguaggio, capitolo 3: «La roccia porosa».

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