David Hilbert

La sua grande idea

Dimostrare che la matematica non si contraddice

La sua storia

All'inizio del Novecento David Hilbert era il matematico più ascoltato del mondo. A Gottinga, in Germania, guidava un gruppo di grandi matematici. Tutti pensavano che, per fare geometria, bisognasse prima rispondere a una domanda: che cos'è un punto? Lì Hilbert trovò la sua crepa: per lui non serviva rispondere. Bastavano regole che dicono come i punti si comportano. Si racconta che dicesse che al posto di punti e rette si potevano mettere tavoli e sedie, e tutto avrebbe funzionato lo stesso. La sua grande idea: trattare la matematica come un gioco di segni, simile agli scacchi, e dimostrare che non porta mai a una contraddizione, cioè a dire una cosa e il suo contrario. Nel 1930 Kurt Gödel, un ragazzo di ventiquattro anni, dimostrò che una prova così, fatta con le sole regole del gioco, è impossibile. Ma dalle domande di Hilbert è nata una scienza ancora viva, che studia le dimostrazioni stesse.

Una domanda per te

Per usare bene una parola bisogna sapere che cosa vuol dire, o basta sapere come si usa?

La frase

«Dobbiamo sapere. Sapremo.»

In parole semplici: Non ci sono domande della scienza a cui siamo condannati a non rispondere mai.

Hilbert disse queste parole contro chi sosteneva «non sappiamo e non sapremo»: per lui, nella scienza, nessuna domanda era chiusa per sempre. È una frase di fiducia, che vale anche davanti a un problema difficile in classe: si comincia col volerlo capire. Ma il giorno prima Gödel aveva mostrato che una delle cose che Hilbert voleva, cioè dimostrare dall'interno che la matematica non si contraddice, non si poteva ottenere nel modo in cui lui sperava.

Esperimento mentale: Il gioco dei segni senza significato

Ti serve: un foglio e una matita, un compagno e la tua testa

1. Scrivi le regole: la partenza è ★●. Regola 1: puoi aggiungere ● in fondo. Regola 2: puoi ricopiare due volte tutto quello che sta dopo ★ (★●■ diventa ★●■●■). Regola 3: due ● vicini possono diventare un ■.
2. Gioca: a turno fate dieci mosse e scrivete ogni catena sotto la precedente. I segni non vogliono dire niente: contano solo le regole.
3. Controlla: il compagno verifica che ogni riga sia nata dalla riga sopra usando una delle tre regole.
4. Cerca la catena rotta: provate ad arrivare a ★ da sola, senza niente dopo. Questa è la mossa proibita, la nostra contraddizione.
5. Guarda il gioco da fuori: smettete di giocare e guardate le regole. Ce n'è una che toglie segni senza lasciarne almeno uno? Sapete spiegare perché la catena rotta non arriverà mai?

Che cosa hai scoperto? Hai giocato con segni che non vogliono dire niente, eppure hai ragionato in modo preciso. Poi hai fatto una cosa diversa: hai guardato il gioco da fuori, contando i segni, e hai capito che la catena rotta non arriverà mai. È quello che Hilbert voleva fare con tutta la matematica: dimostrare che il suo gioco non porta mai a una contraddizione. Gödel mostrò che, per la matematica, questa prova non si può fare con le sole regole del gioco.

Lo sapevi?

Nel 1930 la radio registrò un suo discorso: il disco esiste ancora, e alla fine si sente Hilbert ridere. Non sapeva che il giorno prima, nella stessa città, Gödel aveva annunciato la scoperta che rendeva impossibile il grande progetto della sua vita.

Perché conta ancora oggi

Ogni volta che un computer esegue un programma, segue regole precise senza capire che cosa significano. Una delle radici di questa idea è David Hilbert, il matematico che voleva trattare la matematica come un gioco di segni e regole, come gli scacchi. Si racconta che dicesse che al posto di punti, rette e piani si potevano mettere tavoli, sedie e boccali, e la geometria avrebbe funzionato lo stesso. Il suo sogno era dimostrare che quel gioco non si sarebbe mai rotto. Un giovane di nome Kurt Gödel scoprì che questo non si può dimostrare usando solo le regole del gioco. Da quella crepa nacquero domande nuove. Hilbert inventò anche un albergo immaginario con infinite stanze, tutte occupate: arriva un ospite nuovo, e c'è posto lo stesso. Prova a pensare come.

I valori della sua carta

Curiosità: 82

Si chiese da dove parte la matematica e se le sue regole stiano davvero in piedi.

Logica: 95

Voleva dimostrare con le sole regole che la matematica non dice mai una cosa e il suo contrario: logica pura, al massimo livello.

Fantasia: 82

Ebbe l'idea di vedere la matematica come un gioco di segni, dove al posto di punti e rette potevano andare tavoli e sedie.

Coraggio: 80

Si mise in testa un obiettivo enorme e disse «sapremo», anche se poi Gödel mostrò che non si poteva raggiungere così.

Dialogo: 75

Era il matematico più ascoltato del mondo e guidava un gruppo di grandi matematici.

Per i più grandi e per gli adulti

David Hilbert è raccontato nel volume 6 di La Crepa, La scienza e il linguaggio, capitolo 6: «Il programma e il teorema».

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